integral

INTEGRAL TAK TENTU (TANPA BATAS) INTEGRAL SUBSTITUSI INTEGRAL TRIGONOMETRI INTEGRAL PARSIAL INTEGRAL TERTENTU PENERAPAN INTEGRAL : LUAS, VOLUME, PANJANG BUSUR, LUAS BIDANG PUTAR

Catatan, tanda ^ artinya pangkat.

Rumus Integral Tak Tentu

ʃ  x^n dx =  1/n+1  x^(n + 1)  + C untuk n ≠-1
 ʃ  1/x dx = ʃ  x^-1 dx = ln x + C

Sifat-sifat integral tak tentu :

ʃ  a dx = ax (a = konstanta/bilangan)
ʃ  k f(x) dx = k ʃ  f(x) dx (k = konstanta)
ʃ  f(x) ± g(x) dx = ʃ  f(x)dx + ʃ  g(x) dx


Integral Substitusi

Integral perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain.

Bentuk : ʃ  g(x) f^n (x) dx

Syarat :  g(x) = k. f’(x)dx, k = bilangan pengali (-3/4,-1/2, 1, 2,...) k≠0   

Rumus :
ʃ  g(x) f^n (x)dx = {g(x) / (n+1)f ’ (x) } .  f^n+1 (x) + C



Integral Trigonometri

ʃ sin x dx = - cos x + C
ʃ cos x dx = sin x + C
ʃ sin U dx = {- 1/U’ } cos U + C
ʃ cos U dx = {1/U' } sin U + C
∫sec^2 U du= tan U + C
∫sec U. tan U du= sec U + C
∫tan U du= ln |sec U| + C
∫cot U du = ln |sin U| + C
∫ sec U du= ln |sec U+tan U| + C
dengan U’ turunan pertama dari U

Rumus-Rumus Integral Trigonometri


ʃ tg U dx = 1/U’ ln  l cosU l + C ʃ ctg U dx = 1/ U’ ln l sinU l + C ʃ sec U dx = 1/U’ ln l sec+tgU l + C ʃ cosec U dx = 1/U’ ln l cosecU +  cotgU l + C
Integral Parsial
Bentuk Umum : ʃ U dv = U V - ʃ V du
Atau Rumus Tanzalin : ʃ f(x) . g(x) dx =  f(x) ʃ g(x)     f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx    f “(x) ʃʃʃ g(x) dx
                                     u     dv                         kali+1         kali-1                 kali+1

Catatan :

Rumus ini diterapkan sampai f(x) mencapai konstanta tertentu.

f(x) diturunkan sedangkan g(x) diintegralkan

Jika f(x) pangkat dua : f(x) diturunkan dua kali g(x) diintegralkan tiga kali.


Contoh : ʃ x^2 sinx dx = ....

Kita selesaikan dengan : ʃ U dv = U V - ʃ V du

Misal U = x^2     du = 2x dx       dv = sin x   V = ʃ sin x dx = -cos x

ʃ x^2 sinx dx = x^2 . (-cos x) - ʃ -cos x 2x dx

                    = -x^2 cos x + ʃ 2x.cos x dx

                    = -x^2 cos x + [ 2x sinx - ʃ sin x . 2 dx]            

                    = -x^2 cos x + [ 2x sinx – (-2 cos x) ]

                    = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

Sangat ringkas kalau diselesaikan dengan Rumus Tanzalin :


ʃ x^2 sinx dx =

Misal f(x) = x^2  diturunkan hingga mencapai konstanta 2

          g(x) = sin x diintegralkan

Langkah 1 : f(x) ʃ g(x) = x^2 (-cos x) kali +1 = -x^2 cos x

Langkah 2 :  f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx = 2x . (-sin x) kali -1 = +2x sin x

Langkah 3 : f “ ʃʃʃ g(x) dx = 2 . cos x kali +1 = + 2 cos x

Jangan lupa tambahkan C

Jadi ʃ x^2 sinx dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C


Sebelum melanjutkan ke integral tertentu, kita kasih contoh soal dulu :

Contoh soal :

ʃ 3x √(x^2-3) dx = ........

Menjawab soal ini dgn cara substitusi atau cara parsial??

Kita uraikan dulu :

Misal : g(x) = 3x
            f(x) = x^2-3, sehingga f ‘(x) = 2x
            Ternyata dapat diperoleh hubungan g(x) = 3/2 f ‘(x)  ------à 3x=3/2 . 2x

Jadi gunakan penyelesaian cara substitusi. Ingat, Integral Substitusi adalah perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain. Bentuknya ʃ g(x) f^n(x) dx. Syaratnya : g(x) = k. f ‘(x). k = bilangan pengali ≠ 0.

Jadi Penyelesaian Soal :  ʃ 3x √(x^2-3) dx = ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx

Ingat Rumus yang ini : ʃ g(x) f^n(x) dx = g(x) / {(n+1) f ‘(x)} . f ^(n+1) (x) dx + C

ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx  =  3x / {(1/2+1).2x} . (x^2 – 3)^(1/2+1) + C

                                  =  3x / (3/2.2x) . (x^2 – 3)^3/2 + C

                                  =  (x^2 – 3)^3/2 + C

                                  =  (x^2 – 3) √(x^2 – 3) + C

Selesaikan soal sangat mudah berikut dgn menggunakan Rumus Integral Substitusi :

ʃ 4(2x-5)^3 dx = .....................



Contoh Penyelesaian Soal Integral dengan cara Parsial :

ʃ 4x (2x + 5)^4 dx = .............

Soal seperti  ini lebih baik dikerjakan dgn cara Parsial dari pada cara Substitusi.

f(x) = 4x  cukup diturunkan satu kali hingga mencapai konstanta 4

g(x) = (2x+5)^4 diintegralkan dua kali, karena f(x) nya cuma diturunkan satu kali.

Gunakan Rumus Tanzalin : ʃ f(x).g(x) = f(x) ʃ g(x) dx   f ‘(x) ʃʃ g(x) dx  (cukup sampai sini
                                                                  kali +1                    kali -1
                                                                                             karena sudah mencapai konstanta)

Langkah 1 :  4x. 1/10 (2x+5)^5 kali +1

Langkah 2 :  4. 1/120 (2x+5)^6 kali -1

                  = 2/5 x (2x+5)^5 – 1/30 (2x+5)^6 + C

                  = 1/30 (2x+5)^5 (12x – (2x+5)) + C

                  = 1/30 (2x+5)^5 (10x – 5) + C


Integral Tertentu

Integral yang dilengkapi dengan batas daerah definisinya.

Bentuk Umum :

ʃ [a,b] f(x) dx = [F(x)][a,b] = [F(x)) = F(b) – F(a)]

Sifat-sifat Integral Tertentu :

ʃ [a,b] [f(x) ± g(x)] = ʃ [a,b] f(x) dx ± ʃ [a,b] g(x) dx

ʃ [a,b] f(x) dx + ʃ [b,c] f(x) dx = ʃ [a,c] f(x) dx ------à a < b < c
ʃ [a,b] f(x) dx  = - ʃ [b,a] f(x) dx
ʃ [a,b] k f(x) dx = k ʃ [a,b] f(x) dx
ʃ [a,a] f(x)  = 0
Keterangan : [a,b] = a batas bawah, b batas atas.